MAT995Q – Combinatoire algébrique et géométrique des groupes de Coxeter / Geometric and algebraic combinatorics of Coxeter groups

UQAM, Hiver/Winter 2025 – Mercredis/Wednesdays 9h à 12h au PK4323 (Salle de séminaire LACIM)

Ce cours est un cours ISM (Institut des sciences mathématiques)

Le plan et les modalités du cours se trouvent en bas de page. Syllabus below

Cours Contenu/content (mis à jour chaque semaine/updated weekly)
Mercredi 8 janvierIntroduction; definitions of Coxeter systems, Coxeter matrices, Coxeter graphs; definition of Coxeter groups, the isomorphism problems for Coxeter groups; example.
List of exercices for Jan. 15
mercredi 15 janvierBraid presentation of a Coxeter system; universal property of Coxeter systems; reflection systems and morphisms.
List of exercices for Jan. 30
mercredi 23 janvierPas cours (rattrapé en fin de session)/no class (moved to the end of semester)
mercredi 30 janvierLength and reduced words; Cayley graph and word metric; weak order in the context of reflection systems.
List of exercices for Feb. 5
mercredi 5 févrierChapitre-1.3-dihedral-groups; Chapitre-1.4-symmetric-group; Chapitre-1.5-discrete-reflection-groups
Liste of exercices for Feb. 12
mercredi 12 février
mercredi 19 février
mercredi 27 févrierListe de problèmes / Problem list
mercredi 5 marsSemaine de relâche / reading week
mercredi 12 marsOnline
mercredi 19 marsOnline
mercredi 26 mars
mercredi 2 avrilDevoir à rendre / Assignment to hand in
mercredi 9 avril
mercredi 16 avril
mercredi 23 avrilExposés par les étudiants/Talks by students
+ another dateExposés par les étudiants/Talks by students

Plan et modalités du cours/Syllabus

MAT995Q – Séminaire de combinatoire : Combinatoire algébrique et géométrique de Coxeter (English follows)

Les groupes de Coxeter joue un rôle fondamental dans plusieurs domaines des mathématiques : ils apparaissent comme groupes de Weyl en théorie de Lie, en théorie de Kazhdan-Lusztig, pour les algèbres amassées ou en géométrie algébrique; ils sont les groupes discrets de réflexions agissant sur les espaces à courbure constante en géométrie et sont primordiales dans la définition des immeubles. L’étude des groupes de Coxeter sont souvent la clef afin de comprendre les structures qui leurs sont associés.

Nous commencerons par couvrir les propriétés de base de ces groupes : conditions d’échange/réduction, théorème de Matsumoto, représentations géométriques et systèmes de racines. Nous utiliserons alors cette théorie pour montrer que tout groupe discret engendré par des réflexions dans un espace euclidien ou hyperbolique est un groupe de Coxeter.

Nous discuterons ensuite les liens entre les systèmes de racines, l’ordre faible, l’ordre de Bruhat et le graphe de Cayley munit de sa métrique géodésique. On conclura cette partie par montrer que tout groupe de Coxeter est automatique.

La dernière partie du cours sera dédié à des développements récents de la recherche sur le sujet. En particulier, on mettra en lumière les structures d’ombres de Garside, d’arrangements de Shi et leurs liens avec la récente preuve de la biautomaticité des groupes de Coxeter et le problème des mots dans les groupes d’Artin-Tits.

MAT995Q – Algebraic and geometric combinatorics of Coxeter groups

Coxeter groups play a fundamental role in several areas of mathematics: they occur as Weyl groups in Lie theory, Kazhdan-Lusztig theory, for Cluster algebras or in algebraic geometry; they are the discrete reflection groups acting on spaces of constant curvature in geometry and they are fundamental to define buildings in geometric group theory. Properties of these groups are often key to a deep understanding of the main relevant structures for these areas.

We will start by covering the basics of Coxeter group theory: exchange/deletion conditions, Matsumoto theorem, geometric representations and root systems. We will apply the theory to show that any discrete group generated by reflections in spherical, Euclidean or hyperbolic geometry is a Coxeter group.

Then we will be discussing the interplay between root systems, the weak order, the Bruhat order and the Cayley graph with its word-metric. We will end this part by showing that Coxeter groups are automatic (Brink-Howlett theorem).

The final part of this class will be dedicated to current research developments. In particular, we will be focusing our attention on Garside shadows, Shi arrangements and their relationship with the (still open) word problem in Artin-Tits (braid) groups and the bi-automaticity of Coxeter groups.

Système de racines projectifs/Some projective root systems

Bibliographie/Bibliography

Livres/Books

  • A. Björner and F. Brenti, Combinatorics of Coxeter groups, Graduate texts in Mathematics 231, Springer (2005)
  • P. Abramenko and K. S. Brown, Buildings: Theory and Applications. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 248. Springer, New York, (2008).
  • J. E. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge studies in advances mathematics 29, Cambridge University press (1990)

Articles

  • M. Dyer, C. Hohlweg, Small roots, low elements, and the weak order in Coxeter groups, Advances in Math. 301 (2016), 739-784.
  • M. Dyer, S. Fishel, C. Hohlweg, A. Mark, Shi arrangements and low elements in Coxeter groups, arXiv:2303.16569 (2023).

Plus/more

  • M. W. Davis, The Geometry and Topology of Coxeter Groups, London Mathematical Society Monographs (2008)
  • J. G. Ratcliffe, Foundations of Hyperbolic Manifolds, 2nd edition, Graduat text in math. 149 (2006) – Chapters 6 & 7
  • E. B. Vinberg, O. V. Shvartsman, Discrete groups of Motions of Spaces of Constant Curvature, in Geometry II: Spaces of Constant Curvature, 139-248, (1993).
  • P. Dehornoy, M. Dyer and C. Hohlweg, Garside families in Artin-Tits monoids and low elements in Coxeter groups, Comptes Rendus Mathematique, 353, 403-408 (2015).
  • C. Hohlweg, P. Nadeau, N. Williams, Automata, reduced words, and Garside shadows in Coxeter groups, Journal of algebra, vol. 457 (2016), 431-456.
  • D. Osajda, P. Przytyki, Coxeter groups are bi-automatic, arXiv:2206.07804 (2022)

Modalités d’évaluation/Evaluations

  • Devoir (2 avril): Une liste de (nombre d’étudiant.e.s) problèmes à résoudre (seul.e ou en groupe) sera distribuée le 27 février. Chaque étudiant.e choisira alors un problème dont il/elle rédigera la solution; la solution d’un même problème ne peut pas être rédigée par deux étudiant.e.s distinct.e.s. La solution du devoir devra être rédigée sous \Latex dans la class amsart. Le PDF peut-être remis au lieu d’une copie papier.
  • Un exposé de 50 minutes (23 avril+) en classe basé sur la présentation d’ un sujet en lien avec les groupes de Coxeter (articles de recherches, survol de chapitres de livre, par exemple); à choisir avec le professeur vers la mi mars au plus tard. À partir de mi-mars, des rencontres de suivi seront organisées entre le professeur et les étudiant.e.s.
  • Homework (April 2): A list of (number of students) problems to solve (individually or in groups) will be distributed on February 27. Each student will then choose one problem for which they will write the solution; the solution to the same problem cannot be written by two different students. The homework solution must be written in \Latex using the amsart class. The PDF may be submitted instead of a paper copy.
  • A 50-minute presentation (April 23 and onwards) in class, based on a topic related to Coxeter groups (e.g., research articles, an overview of book chapters); the topic must be chosen in consultation with the professor no later than mid-March. Starting mid-march, follow-up meetings will be organized between the professor and the students.