Auteur : Christophe Hohlweg

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MAT995Q – Combinatoire algébrique et géométrique des groupes de Coxeter / Geometric and algebraic combinatorics of Coxeter groups

UQAM, Hiver/Winter 2025 – Mercredis/Wednesdays 9h à 12h au PK4323 (Salle de séminaire LACIM)

Ce cours est un cours ISM (Institut des sciences mathématiques)

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Représentation projectives des systèmes de racines des groupes de Coxeter

Let $(W,S)$ be a Coxeter system with a based root systems $(\Delta,\Phi)$ on a quadratic space $(V,B)$. Then $W$ is embedded as a subgroup generated by reflections in the group $O(V,B)$ of endomorphism of $V$ preserving the symmetric bilinear form $B$. In particular, $\Phi=W(\Delta)$ is a root system with positive root system $\Phi^+=\textrm{cone}(\Delta)\cap \Phi$.

The pictures below represent the projective version of $\Phi$ called a projective root system for $(W,S)$:

$$\mathbb P\Phi = \{\mathbb R\alpha\mid\alpha\in \Phi\}\subseteq \mathbb PV$$

The group $W$ acts on $\mathbb P\Phi$ through the group morphism

$$W\leq O(V,B)\leq GL(V)\rightarrow PGL(V).$$

Therefore, we may see the conic hull $\textrm{cone}(\Delta)$ becomes the convex hull $\textrm{con}(\mathbb P\Delta)$ and $\mathbb P\Phi^+=\mathbb P\Phi\subseteq textrm{conv}(\Delta)$, which is a polytope (and compact and closed).

We give below examples of projective root system below. This pictures were produces with the help of SageMath and the BROCOLI package by Jean-Philippe Labbé and based on the approach used in these articles:

Finite/spherical types (rank 3)

Affine types (rank 3)

  • $tilde A_2$
  • $tilde C_2$
  • $tilde G_2$

Indefinite types (rank 3)

Indefinite types (rank 4)

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Projet de réforme du DEC en sciences de la nature : Rapport de l’UQAM

J’ai eu l’occasion de coordonner le rapport de l’UQAM sur le projet de réforme du DEC en sciences de la nature proposé par le Ministère de de l’Éducation et de l’Enseignement Supérieur du Québec (MEES). Ce projet de réforme a été mis sur la glace à l’été 2018 par Hélène David, Ministre responsable de l’Enseignement supérieur à ce moment là.

J’en recopie ici les conclusions et recommandations.

Conclusion et recommandations (issues du Rapport sur la consultation du Ministère de l’Éducation sur le sujet d’un projet de réforme du DEC en sciences de la nature de l’UQAM)

Nous avons soulevé dans ce rapport trois problèmes majeures de ce projet de réforme du DEC en sciences de la nature (200.BO) :

  • Ce programme a été écrit sur la base d’un profil attendu par les universités qui est inadéquat en général; la proposition de programme révisé est basée sur ce profil inadéquat.
  • La description du programme selon l’approche par compétence ne nous permet pas de mettre en évidence un socle commun de connaissance dans chaque domaine des sciences. Bien que le programme de Sciences de la nature soit rédigé selon l’approche par compétences depuis 1998 [voir l’analyse comparative de 2016, p. 6-7], le projet de réforme est allé plus loin et la description du programme devient obscure, sinon incompréhensible.
  • La proposition de programme révisé va engendrer l’éclatement des formations des cégepiens et le dispersement de contenus dans plusieurs cours, selon des formules différentes d’un cégep à l’autre. Il sera très difficile, sinon impossible, de savoir quelles connaissances, et avec quelles compétences assujetties à ces savoirs, les finissants du cégep auront acquis.

Si ce projet de réforme du DEC en sciences de la nature devait être mis en place, les conséquences seraient très fâcheuses pour les programmes de premier cycle en sciences de l’UQAM qui accueillent les étudiants issus de ce DEC. Il deviendrait très difficile, sinon impossible, de les accueillir dans nos cours de première année universitaire, dont les préalables consistent en des connaissances devant impérativement être vues au cégep. Il faut rappeler que les universités ailleurs au Canada, sinon ailleurs dans le monde occidental, bénéficient de quatre années universitaires pour couvrir la matière d’un baccalauréat, au lieu de trois au Québec. Le cégep se doit de couvrir au moins l’équivalent de cette année manquante aux programmes universitaires québécois. Au-delà de ces considérations, si un tel programme devait être mis en place, il pourrait mettre en péril une relève scientifique québécoise de haut niveau.

Nous soulignons que dans le projet de programme révisé (p.4), ainsi que dans le document de présentation, il est mentionné que le processus de révision est soumis au Comité conseil (CC) et au Comité d’enseignantes et d’enseignants (CEE) qui « est composé de représentantes et de représentants des universités, des directions des études et du personnel enseignant des établissements d’enseignement collégial », ce que nous n’avons pas pu vérifier. Le seul comité nommé dans le document de présentation est celui de rédaction composée de 2 enseignants du collégial dans chacun des cinq domaines des sciences naturelles et abstraites (biologie, chimie, informatique, physique et chimie).

Une telle situation nous semble un indicateur clair que les processus d’évaluation et de révision des programmes du MEES sont soit déficients dans leurs conception, soit dans leurs applications.
Recommandations :

Nous présentons ici une liste de recommandations qui pourraient non seulement permettre de finir le processus de révision à moindre coût en temps et en ressources mais aussi d’améliorer ce processus à l’avenir. L’enseignement supérieur s’internationalise et nous nous devons de nous assurer que le Québec vise l’excellence dans la formation scientifique.

Recommandation 1

Créer un comité paritaire enseignants au cégep/professeurs d’universités. Ce comité de 10 personnes serait composé d’un professeur d’université et d’un enseignant au cégep par domaine des sciences (biologie, chimie, informatique, mathématiques, physique). Il serait éventuellement judicieux d’y ajouter un professeur d’université et un enseignant au collégial dans le domaine des sciences de la terre.

Ce comité serait chargé de :
a) Revoir le profil attendu par les universités décrit dans le rapport Belleau afin d’y définir avec précision un socle commun de connaissances, et des compétences qui leurs sont assujetties, et ce dans chaque domaine cités ci-dessus;
b) Produire une révision du programme du DEC en sciences de la nature en fonction de ce nouveau profil et à partir du programme actuel.

Recommandation 2

Arrimer les cours du programme 200. BO avec les cours du programme 200. CO « Sciences informatique et mathématiques », surtout ceux de mathématiques et d’informatique, afin que les cégeps puissent optimiser leur offre de cours.

Recommandation 3

À titre indicatif, faire une comparaison du DEC en sciences de la nature avec des programmes équivalents au Canada et dans le monde (au moins la francophonie).

Recommandation 4

Changer la politique de révision des programmes du MEES afin qu’une telle situation ne se reproduise plus. Pour toute réforme à venir, un comité paritaire enseignants au cégep/professeurs d’universités représentant tous les domaines visés (similaire à la recommandation 1 ci-dessus mais avec les domaines pertinents) devrait être créé au début du processus et devrait s’occuper de coordonner et de rédiger, avec les intervenants nécessaires, le profil attendu puis le texte du programme révisé (si révision nécessaire).

Cette politique pourrait aussi s’appliquer aux réformes du secondaire par la création d’un comité paritaire enseignant du secondaire/collégial.

[NDR : voici les deux autres documents, le Sondage sur les savoirs disciplinaires et le Profil attendu d’Educonseil Inc, qui sont cités dans le Rapport sur la consultation du Ministère de l’Éducation sur le sujet d’un projet de réforme du DEC en sciences de la nature mais pas dans le texte ci-dessus]

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