UQAM, Automne 2025 – Lundi SH-2540 et mardi PK-5333 de 13h30 à 15h
La description du cours se trouve ici et les horaires là
Les modalités d’évaluation du cours se trouvent en bas de page.
Les groupes de Coxeter joue un rôle fondamental dans plusieurs domaines des mathématiques : ils apparaissent comme groupes de Weyl en théorie de Lie, en théorie de Kazhdan-Lusztig, pour les algèbres amassées ou en géométrie algébrique; ils sont les groupes discrets de réflexions agissant sur les espaces à courbure constante en géométrie et sont primordiales dans la définition des immeubles. L’étude des groupes de Coxeter sont souvent la clef afin de comprendre les structures qui leurs sont associés.
Nous commencerons par quelques rappels et compléments de théorie des groupes, d’algèbre linéaire et de géométrie. Puis nous couvrirons les propriétés de base de ces groupes : conditions d’échange/réduction, théorème de Matsumoto, représentations géométriques et systèmes de racines. Nous utiliserons alors cette théorie pour montrer que tout groupe discret engendré par des réflexions dans un espace euclidien ou hyperbolique est un groupe de Coxeter.
Nous discuterons ensuite les liens entre les systèmes de racines, l’ordre faible, l’ordre de Bruhat et le graphe de Cayley munit de sa métrique géodésique.
Bibliographie
Le cours s’appuie principalement sur les deux textes suivants :
- A. Björner and F. Brenti, Combinatorics of Coxeter groups, Graduate texts in Mathematics 231, Springer (2005)
- J. E. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge studies in advances mathematics 29, Cambridge University press (1990)
Ressources
- Bien écrire les mathématiques : LATEX
- Introduction à la théorie des groupes (il est conseillé de lire le chapitre 4)
- La magnifique page de John Baez (en anglais)
| Cours | Contenu/content (mis à jour chaque semaine/updated weekly) |
|---|---|
| Semaine 1 (02/09) | Introduction et présentation du plan de cours |
| Semaine 2 (08/09 et 09/09) | Systèmes de réflexions, longueur, graphe de Cayley, signature d’un système de réflexions, ordre faible (définition) et propriété universelle des systèmes de réflexions. Un exercice: graphe de Cayley du groupe des isométries du cube. |
| Semaine 3 (15/09 et 16/09) | Signature d’un système de Coxeter et des systèmes de réflexions en général, conséquence pour la longueur; ordre faible. |
| Semaine 4 (22/09 et 23/09) | Représentation géométrique canonique; ordre du produit de générateurs est le coefficients de la matrice de Coxeter. Le cours est en ligne sur ZOOM cette semaine |
| Semaine 5 (29/09 et 30/10) | Le cours du 29 est en ligne sur ZOOM Pas de cours le 30 septembre : Journée nationale de la vérité et de la réconciliation |
| Semaine 6 (06/10 et 07/10) | Devoir 1 à rendre le lundi 6 octobre Caractérisation des systèmes de Coxeter : condition du cocycle, ensembles d’inversions |
| Semaine 7 (14/10 et 16/10) | Semaine de lecture |
| Semaine 8 (20/10 et 21/10) | Le cours est en ligne sur ZOOM cette semaine Caractérisation des systèmes de Coxeter : suite |
| Semaine 9 (27/10 et 28/10) | Caractérisation des systèmes de Coxeter : fin. Devoir 2 à rendre le 28 octobre (repoussé au 10 novembre 2025). |
| Semaine 10 (03/11 et 04/11) | L’ordre faible est un semi-treillis; sous-groupes paraboliques standard |
| Semaine 11 (10/11 et 11/11) | La représentation géométrique est fidèle |
| Semaine 12 (17/11 et 18/11) | Ensemble d’inversions vu dans les racines; ensemble de racines projectives. Ordre faible sur les racines. |
| Semaine 13 (24/11 et 25/11) | Profondeur des racines et root poset. Devoir 3 à rendre le mardi 25 novembre |
| Semaine 14 (01/12 et 02/12) | |
| Semaine 15 (08/12 et 09/12) | Examen final en deux parties de 1h30 chacune |
Modalités d’évaluation/Evaluations
- trois (3) devoirs à rendre: 60% de la note finale (20% de la note finale par devoir)
Ces devoirs doivent être rédigés sur papier format lettre blanc ou lignés, ou avec l’aide du logiciel LaTEX et rendu par courriel.
Ces devoirs cours ont pour objectifs de vous préparer pour les deux examens en identifiant vos forces et faiblesses dans la rédaction de textes mathématiques. Ces devoirs doivent être rédigés sur papier format lettre blanc ou lignés et rendu en classe, ou bien avec l’aide du logiciel LaTEX et rendu par courriel avant le début de la séance de TP par courriel.
Intégrité académique dans le cadre des devoirs à la maison : le Règlement 18 de l’UQAm décrit les sanctions relative au acte de plagiat, fraude, copiage, tricherie. Recopier les réponses données par un IA est une fraude.
Au delà de cela, ces devoirs ont pour but de vous entrainer pour les examens de mi-session et finaux, et pour acquérir les connaissances nécessaires à la poursuite de vos études dans les meilleures conditions. Le copiage, le plagiat etc. ne vous entraine pas et mettent donc en péril votre réussite.
- Un (1) Examen final en 2 parties (10 et 11 décembre de 13h30 à 15h): 40% de la note finale
Dans le cas de cette examen en classe, l’utilisation de tout document, calculatrice, ordinateur, téléphone, etc. est interdite.